中央大學數學系‧微積分聯合教學
九十五學年第一學期
                                     

上 機 演 習 計 畫

課本: Weir, Hass and Giordano, Thomas' Calculus, 11th Edition, International Edition, Addison Wesley, 2005. 東華代理,請同學們個別在校園內的敦煌書局採購。

上機演習課一律在每週一、二、三、四傍晚,於鴻經館之數學系計算機教室舉行, 按照原學系班級安排課時,並不重新編班。排程如下:

上機演習時段

助教班級時段
黃鈺芸機械A星期一 18:00--18:50
機械B星期一 19:00--19:50
薛本岳土木A星期二 18:00--18:50
土木B星期二 19:00--19:50
陳志和機械C星期三 18:00--18:50
大氣系星期三 19:00--19:50
江佳玲化材系星期四 18:00--18:50
地科系星期四 19:00--19:50

上機演習課之授課計畫

以下之授課日期,均以週一課程為代表,其後三天的課程均沿用。

課次日期主題  教 材 與 計 畫 
109/25 函數極限
sin(1/x)
sin(x)/x
首先,建議學生看 BCC16 計概課程裡面的 Maple 線上教材 自修 Maple 之基本操作。

今天的教材是 Maple Worksheet fcnlim 檔案, 請下載另存新檔,然後用 Maple 開啟。

學習 zoom-in 圖形的繪圖方法, 觀察函數極限存在的圖形看法:以 sin(x)/x 為例。 然後觀察 sin(1/x) 和 x*sin(1/x) 之函數圖形。

學習高有效數字的數值計算,觀察函數極限存在的數值看法:以 sin(x)/x 為例。 再觀察 sin(1/x) 和 x*sin(1/x),提醒 sin(2*x)/x 及 sin(3*x)/x 在 0 之不同極限值。

作業一:用 zoom-in 手法解方程式,準確到小數點下第二位。 課本 2.6 習題 66, 69。 學生使用 BB 上傳作業。注意預設的截止日期。

210/02 可微函數
導函數
觀察函數可微的圖形看法:以 x2, sqrt(x), |x|, step-fcn, x*sin(1/x) 和 x2*sin(1/x) 為例。

教 Limit, limit, Diff 和 diff 指令,求導函數或導數--代數或數值, 可用來驗算手算結果。

今天的教材是 Maple Worksheet diff 檔案, 請下載另存新檔,然後用 Maple 開啟。

作業二:課本 p.236 習題 21--40。 目的在於令同學熟練 Maple 函數之輸入。


10/16
原訂課程為配合 10/09 臨時決定放假補課而取消。
310/30 牛頓法
定積分
以圖形講解牛頓迭代法求根之概念, 實例表現牛頓法的『二階收斂』現象, 也以實例演示若 x0 選得不好, 牛頓法可能找不到想要的根,也可能造成一個發散的數列。 最後再說其實 fsolve() 可以代勞, 只是 fsolve() 可能需要一點外在的幫助,限定求根的範圍。 這一部份採用講義 newton 檔案。

連續函數在閉區間內之定積分的圖形看法,黎曼和的動態圖形表現, 以及黎曼和的數值實例。 最後說,其實 Maple 提供的反導函數與定積分功能。 這一部份採用講義 integral 檔案。

作業三:其實只是練習 Maple 的輸入。 做課本 5.4 習題 15..26,5.5 習題 31..40。

411/06 分片函數
參數方程
隱函數
分片定義函數、參數方程式及隱函數的繪圖方法, 將隱函數改寫成 (顯) 函數的輔助工具, 以及 Maple 對這些形式函數所提供的微積分功能。 教材是 piecewise.mws

作業四:課本 3.6 習題。助教演示 77 題, 學生做 79, 82 兩題。

511/13 曲線長與其他積分應用 只要設立積分形式的數學模型即可交給 Maple 計算。 但也有理論知識要學習,否則 Maple 有它的侷限。 以曲線長的計算為例,發展一份教材:arclength.mws

視時間容許情況,助教另外講解一些課本習題,凸顯 Maple 作為計算輔助工具的角色。 例如 6.1 第 57 題,6.3 第 35 題, 6.7 第 17 題。以這些習題為綱,發展一份教材 (尚欠第三題):app_intg.mws

作業五:課本 6.1 第 55 題,以及 6.5 第 27 題。

611/27 反導函數 傳統的微積分課本附有一張橫跨四到六頁的表格,稱為『積分公式表』, 學生要練習將被積分函數轉化成表格內的標準形式, 然後套用公式取得反導函數 (課本 8.6)。 專業人員更在案頭備有一本厚厚的『數學表格』 (Mathematical Tables),內含指數對數表、三角函數表、和積分公式表。 如今,這些工具可以全部被數位化與相當程度的自動化, 所以需要練習的不是如何標準化和如何查表, 而是如何輸入正確的計算機軟體指令。以 Maple 為例, 整理出一份『反導函數』教材:antidiff.mws

課堂上,帶領學生多做輸入練習,並紀錄、解決突發狀況。 做課本 8.5 習題 1, 7, 11, 13, 25, 27, 43, 47 和課本 8.6 習題 1, 3, 5, 7, 9, 15, 17, 19, 23, 29, 33, 並對照 A-40 所附解答, 觀察有時 Maple 並不能呈現一般人認為「漂亮」或「簡潔」的數學式, 這方面還需要經驗和學養都豐富的操作者來幫忙。 有時候,Maple 答案和課本解答的差異,被隱藏在那個常數 C 裡面。

助教以 8.5 之 37, 38 示範如何以 int()subs() 解可以分離係數的 IVP 問題,學生做 39, 40。

作業六:課本 8.5 之 6, 20, 28, 30, 32, 39, 40, 課本 8.6 之 22, 24, 32, 42, 47, 52, 58, 62, 64, 72, 76, 78, 80, 88, 90, 92, 109b, 110a (共 25 題,錯一題扣一分,扣到 0 為止)。

712/04 數值積分 雖然 Maple 已經可以自動執行數值積分到任意指定的精度, 配合課本,我們還是說明 Simpson 數值積分法的意義。 並且透過實驗說明,為何不直接用 Riemann sum 就好了呢? 所謂收斂階數是甚麼意思?有何效果? 甚麼情況會使得 Simpson 方法達不到預期的收斂階數? 教材: num_intg.mws

作業七:

  1. 若 f(x) = |x-1/2|,輸入 Test(f) 發現計算結果如何?請解釋這個現象。
  2. 修改 Test() 使得它取得三個輸入 (f,a,b) 其中 f 就是被積分函數, 而 [a,b] 是定積分上下限。其他的 Test() 功能皆不變。
812/11 級數收斂
調和級數
以實驗強調『發散測試』只是必要條件,若級數的一般項收斂到 0, 級數本身可能收斂也可能發散。 以數據觀察調和級數真的會發散。 用函數圖形觀察泰勒多項式當次數越來越高時,的確在某個區間內越來越接近某函數, 因此引出討論『收斂區間』的必要性,這是課堂上的重點之一。 教材請看:inf_series.mws

作業八:課本 8.8 習題 73(b), 75(a,b), 76(a,b), 77(a,b)。

912/18  Taylor 誤差
Fourier 級數 
泰勒級數的誤差定理中,有個神秘的數 xi,這可能是大部分初學者最難有「感覺」之處。 我們以教材 taylor_err.mws 闡述這個誤差項。 首先從微分均值定理出發,觀察它是泰勒級數的特例。 對於較簡單的函數,可以計算 xi 與 x 的關係,從這個關係的代數表達, 或者從它們的曲線圖形,可以看到 xi 都落在 x0 與 x 之間。 然後舉幾個比較高次的例子,估計出來 xi 的數值, 觀察它們總是落在 x0 與 x 之間。

接著以 fourier.mws 簡介 Fourier 級數的定義和圖示範例。 這個課題不在微積分的考試範圍,但是學生可以從這份教材,配合閱讀課本, 而獲得 Fourier 級數的概念。

作業九:課本 11.4 習題 41。這是個難得的題目, 讓學生探究一個數學家尚未能決定其收斂或發散的級數。 課堂上所學的五種判斷方法,都用不上。

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Created: Sep 17, 2006
Last Revised: