中央大學數學系‧微積分聯合教學
九十六學年第二學期
                                     

上 機 演 習 計 畫

課本: Weir, Hass and Giordano, Thomas' Calculus, 11th Edition, International Edition, Addison Wesley, 2005. 東華代理,請同學們個別在校園內的敦煌書局採購。

僅有理學院A班同學有上機演習課。 上機演習課一律在傍晚,於鴻經館二樓之數學系計算機教室舉行, 分成三個班授課。

上機演習課之授課計畫

課次日期主題  教 材 與 計 畫 
103/04

03/05
空間向量

向量值函數
Maple 以一個 VectorCalculus 套件提供關於空間向量和向量微積分的運算。 所謂多變量微積分 (Multivariate Calculus) 指的是從 Rn 到 R 這種實值 (real-valued) 函數的微積分, 所謂向量微積分 (Vector Calculus) 包括從 R 到 Rm 這種向量值 (vector-valued) 函數和從 Rn 到 Rm 這種向量場 (vector field) 的微積分,其中 n 和 m 都指大於 1 的整數。

這份教材 vector_calc.mws 主要先導入空間向量的基本操作,以備未來向量微積分的使用。

作業一:

  1. 課本 12.3 習題 19.
  2. 課本 12.3 習題 55.
  3. 課本 12.4 習題 42.
  4. 課本 12.5 習題 46.
  5. 課本 12.5 習題 52.
作業截止日期是 3 月 10 日。
203/11

03/12
空間中的曲線 這份教材 spacecurve.mws 解釋 Maple 的兩個套件:plots 和 VectorCalculus 所提供關於空間中曲線的繪圖與微分計算工具。 空間中的曲線乃是以一個 R 到 R3 的向量值函數描述, 它的自變量通常稱為 t,在意義上代表時間,而這樣的函數也稱為曲線的參數式, 例如空間中的直線就是一種基本的參數式。 向量值函數 r(t) 表示某個質點在時間 t 的位置, 而曲線則為此質點在空間中運動的軌跡。 關於向量值函數的微分課題,包括速度與加速度向量的計算, 局部直角坐標系統 TNB 的計算,曲率與扭率的計算, 以及轉換參數為弧長 s 的觀念與計算。

作業二:

  1. 課本 13.1 習題 42.
  2. 課本 13.1 習題 60.
  3. 課本 13.3 習題 17(e).
  4. 課本 13.5 習題 30.
  5. 課本 13.6 習題 17. 課堂未授 13.6,但是這一題只需要繪圖。 題目是模擬兩顆行星繞著同一顆恆星運行,從其中一顆(例如地球) 觀察另一顆(例如火星)的軌跡,會發生詭異的現象而令觀察者難以理解。
作業截止日期是 3 月 17 日。
303/18

03/19
空間中的曲面 兩個變數的實值函數圖形,或者用兩個參數描述的空間變數, 或者三元方程式的圖形,都是空間中的曲面。 所以空間中的曲面是『多變量函數』圖形的一個具體範例。 教材 surface.mws 講述 Maple 繪製空間曲線的指令, 並介紹一個技巧,將曲面與其平面等高線畫在一起。

一般而言,多變量函數的圖形是非常難以具體呈現的,需要極高的想像力。 Maple 的繪圖工具能夠有限度地提供我們視覺訊息, 有助於將來處理更高維度、更抽象的多變量函數。

作業三:

  1. 課本 12.6 習題 91.
  2. 課本 12.6 習題 92.
  3. 課本 14.1 習題 51, 不必做課本要求的 a, b, c 項, 但是要將曲面和它的平面等高線畫在同一張圖裡,選一個好看的視角。
  4. 課本 14.1 習題 56.
  5. 課本 14.1 習題 60, 並且以文字描述這是一張什麼曲面?
作業截止日期是 3 月 24 日。
403/25

03/26
多變量實值函數 兩個或三個變數的實值函數又稱為純量場 (scalar field)。 處理它們的線性估計、極值問題與圖形描繪, 導引出偏微分的技術與 Del 向量微分算子的操作。 教材 pDerivative.mws 講述 Maple 關於純量場的微分操作。

作業四:

  1. 課本 14.4 習題 32.
  2. 課本 14.5 習題 28.
  3. 課本 14.6 習題 62.
  4. 課本 14.7 習題 62, 這是以最小平方法計算迴歸直線的問題, 看課本 1036 頁的說明與範例。
  5. 課本 14.7 習題 68.
作業截止日期是 4 月 7 日。
504/15

04/16
二重與三重積分 兩個或三個變數的純量場在平面區域 R 或空間區域 D 內, 以二重或三重積分的技術做積分。 區域 R 或 D 的邊界必須可以用函數描述,這是二重或三重積分的技術條件。 教材 pIntegral.mws 講述 Maple 的基本積分指令 int 關於純量場的積分操作。

作業五:

  1. 課本 15.1 習題 68. 小數點下需有 8 位.
  2. 課本 15.1 習題 69. 小數點下需有 8 位.
  3. 課本 15.1 習題 73. 注意題目要求交換積分順序之後再做一次.
  4. 課本 15.3 習題 45.
  5. 課本 15.4 習題 50.
作業截止日期是 4 月 21 日。
604/22

04/23
多變量函數的積分 仍然考慮二重或三重積分的問題,但是介紹 VectorCalculus 套件內的 int 指令用法,可以處理 R 或 D 的幾種常見的幾何形狀與範圍。 並討論變數變換的作法。 今天的教材是 pIntegral.mws 的後半段。

作業六:

  1. 課本 15.4 習題 52.
  2. 課本 15.6 習題 33.
  3. 課本 15.6 習題 43.
  4. 課本 15.7 習題 14.
  5. 課本 15.7 習題 21.
作業截止日期是 5 月 5 日。
705/13

05/14
線積分 所謂線積分,是一個多變數實值函數 f 沿著平面或空間中的曲線 C 積分, 或者向量場 F 在 C 的切向量或法向量上分量的積分。 而所謂的曲線包含直線段與折線段。 將曲線用向量值函數 r(t) 參數化之後, 線積分其實就是 t 的定積分問題,所以不必特殊的積分工具。 但是 Maple 的 VectorCalculus 套件,以簡便的方式描述曲線 C, 可以省去我們一些工作。 教材檔案是 lineIntegral.mws

作業七:

  1. 課本 16.1 習題 34.
  2. 課本 16.2 習題 30.
  3. 課本 16.2 習題 50 只做 c 部份。
  4. 課本 16.4 習題 43 用二重積分求 F 的 circulation
  5. 課本 16.4 習題 44 用二重積分求 F 的 circulation
作業截止日期是 5 月 19 日。
805/20

05/21
級數收斂
調和級數
以實驗強調『發散測試』只是必要條件,若級數的一般項收斂到 0, 級數本身可能收斂也可能發散。以數據觀察調和級數真的會發散。 用函數圖形觀察泰勒多項式當次數越來越高時, 的確在某個區間內越來越接近某函數,因此引出討論『收斂區間』的必要性, 這是課堂上的重點之一。 教材請用:inf_series.mws

作業八:課本 11.1 的習題,對每一題都做
(a) 定義一般項 a(n) 並畫出 1<=n<=25 的函數曲線, 回答「看起來」是否趨近某一個常數 L?
(b) 對於會收斂到 L 的數列,找一個正整數 N,使得對所有的 n=>N 都滿足 |a(n)-L|<0.001。

  1. 129
  2. 130
  3. 135
  4. 136
  5. 139
作業截止日期是 5 月 26 日。
905/27

05/28
Taylor
級數

誤差
泰勒級數的誤差定理中,有個神秘的數 xi, 這可能是大部分初學者最難有「感覺」之處。 我們以教材 taylor_err.mws 闡述這個誤差項。 首先從微分均值定理出發,觀察它是泰勒級數的特例。 對於較簡單的函數,可以計算 xi 與 x 的關係,從這個關係的代數表達, 或者從它們的曲線圖形,可以看到 xi 都落在 x0 與 x 之間。 然後舉幾個比較高次的例子,估計出來 xi 的數值, 觀察它們總是落在 x0 與 x 之間。

作業九:

  1. 課本 11.4 習題 41。這是個難得的題目, 讓學生探究一個數學家尚未能決定其收斂或發散的級數。 課堂上所學的五種判斷方法,都用不上。
作業截止日期是 6 月 2 日。
1006/03

06/04
Fourier
級數
因為時間的限制,課堂上割捨了傅利葉級數, 這份上機演習的教材 fourier.mws 簡介 Fourier 級數的定義和圖示範例。 這個課題不在微積分的考試範圍,但是學生可以從這份教材,配合閱讀課本, 而獲得 Fourier 級數的概念。

作業十:
雖然此份教材講解的是 11.11 的傅立葉級數,不過作業卻是泰勒級數及其誤差。 同學可以利用第九週 Maple 教材裡面的 TaylorTest 程序來幫助計算誤差。

課本 11.9 的習題 57, 61。每一題都需要

  1. 算出以 0 為中心的一次、二次、三次泰勒多項式
  2. 在同一張圖上,在指定範圍內畫原函數以及上述三個多項式的圖形
  3. 找出 f(x) 的四次導函數在指定範圍內的最大值 M
  4. 以 M 代入誤差公式 R3(x) 得到它的上界
  5. 在指定範圍內,畫出 R3(x) 的上界和 |f(x)-P3(x)|
作業截止日期是 6 月 15 日。

[ 中央大學微積分聯合教學網 ]

Created: Feb 29, 2008
Last Revised: 2008-03-04