| 號次 | 主題 | 教 材 大 綱 |
|---|---|---|
| 0 | 導入 | 建議學生看 BCC16 計概課程裡面的
Maple
線上教材，自修 Maple 之基本操作。
但是，上述教材所用的版本已經過時 (Maple 7)，需要一點銜接。
使用 Maple 10 以上時，若以 Maple Classic 介面入門，
才可以較順利地使用對照上述教材。
以下每份主題都對照一份 Maple Worksheet。請下載後，由 Maple 讀取。 這些 Worksheets 大多是用 Maple 9 或 10 寫成的， 如果版本不同，強迫它開啟，應該不會造成問題。 |
| 1 | 函數極限 sin(1/x) sin(x)/x fcnlim |
學習 zoom-in 圖形的繪圖方法， 觀察函數極限存在的圖形看法：以 sin(x)/x 為例。 然後觀察 sin(1/x) 和 x*sin(1/x) 之函數圖形。 學習 zoom-in 圖形的繪圖方法， 觀察函數極限存在的圖形看法：以 sin(x)/x 為例。 然後觀察 sin(1/x) 和 x*sin(1/x) 和 x2*sin(1/x) 之函數圖形。 學習高有效數字的數值計算，觀察函數極限存在的數值看法：以 sin(x)/x 為例。 再觀察 sin(1/x) 和 x*sin(1/x)，提醒 sin(2*x)/x 及 sin(3*x)/x 在 0 之不同極限值。 |
| 2 | 可微函數 導函數 diff |
觀察函數可微的圖形看法：以 x2, sqrt(x), |x|, step-fcn,
x*sin(1/x) 和 x2*sin(1/x) 為例。
即，固定函數曲線上一點為中心，逐步 zoom-in 時看起來像一條直線者，
便在那一點可微。而導數則是那條直線的斜率。
教 Limit, limit, Diff 和 diff 指令，求導函數或導數--代數或數值， 可用來驗算手算結果。 |
| 3 | 牛頓法
newton | 以圖形講解牛頓迭代法求根之概念， 實例表現牛頓法的『二階收斂』現象， 也以實例演示若 x0 選得不好， 牛頓法可能找不到想要的根，也可能造成一個發散的數列。 最後再說其實 fsolve() 可以代勞， 只是 fsolve() 可能需要一點外在的幫助，限定求根的範圍。 |
| 4 | 定積分
integral | 連續函數在閉區間內之定積分的圖形看法，黎曼和的動態圖形表現， 以及黎曼和的數值實例。 最後說，其實 Maple 提供反導函數與定積分功能。 利用方便的繪圖指令， 觀察函數與其積分函數（一種特定的反導函數：F'(x)=f(x) 且 F(a)=0）之間的關係。 |
| 5 | 分片函數 參數方程 隱函數 piecewise | 分片定義函數、參數方程式及隱函數的繪圖方法， 將隱函數改寫成 (顯) 函數的輔助工具， 以及 Maple 對這些形式函數所提供的微積分功能。 |
| 6 | 曲線長與其他積分應用
arclength | 只要設立積分形式的數學模型即可交給 Maple 計算。 但也有理論知識要學習，否則 Maple 有它的侷限。 以曲線長的計算為例，發展一份教材。 |
| 7 | 反導函數
antidiff |
傳統的微積分課本附有一張橫跨四到六頁的表格，稱為『積分公式表』，
學生要練習將被積分函數轉化成表格內的標準形式，
然後套用公式取得反導函數。
專業人員更在案頭備有一本厚厚的『數學表格』
(Mathematical Tables)，內含指數對數表、三角函數表、和積分公式表。
如今，這些工具可以全部被數位化與相當程度的自動化，
所以需要練習的不是如何標準化和如何查表，
而是如何輸入正確的計算機軟體指令。以 Maple 為例，
整理出一份『反導函數』教材。
觀察有時 Maple 並不能呈現一般人認為「漂亮」或「簡潔」的數學式， 這方面還需要經驗和學養都豐富的操作者來幫忙。 有時候，Maple 答案和課本解答的差異，被隱藏在那個常數 C 裡面。
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| 8 | 數值積分
num_intg |
雖然 Maple 已經可以自動執行數值積分到任意指定的精度，
配合課本，我們還是說明 Simpson 數值積分法的意義。
並且透過實驗說明，為何不直接用 Riemann sum 就好了呢？
所謂收斂階數是甚麼意思？有何效果？
甚麼情況會使得 Simpson 方法達不到預期的收斂階數？
在此教材內，我們也順便展示如何使用 Maple 撰寫使用者自己設計的「指令」或 「功能」，稱為「程序」(procedure)。 |
| 9 | 級數收斂 調和級數 inf_series | 以實驗強調『發散測試』只是必要條件，若級數的一般項收斂到 0， 級數本身可能收斂也可能發散。 以數據觀察調和級數真的會發散。 用函數圖形觀察泰勒多項式當次數越來越高時，的確在某個區間內越來越接近某函數， 因此引出討論『收斂區間』的必要性，這是課堂上的重點之一。 |
| 10 | Taylor 誤差
taylor_err | 泰勒級數的誤差定理中，有個神秘的數 xi，這可能是大部分初學者最難有「感覺」之處。 我們闡述這個誤差項。 首先從微分均值定理出發，觀察它是泰勒級數的特例。 對於較簡單的函數，可以計算 xi 與 x 的關係，從這個關係的代數表達， 或者從它們的曲線圖形，可以看到 xi 都落在 x0 與 x 之間。 然後舉幾個比較高次的例子，估計出來 xi 的數值， 觀察它們總是落在 x0 與 x 之間。 |
| 11 | Fourier 級數
fourier | 簡介 Fourier 級數的定義和圖示範例。 這個課題不在微積分的考試範圍，但是學生可以從這份教材，配合閱讀課本， 而獲得 Fourier 級數的概念。 |
| 12 | 極坐標
polar | Maple 繪製極坐標函數圖形的功能，示範一個例子， 顯示因為極坐標的不唯一性導致不能僅以代數方法求交點。 Maple 亦可繪製極坐標隱函數的圖形。至於積分，只要把定積分寫出來， Maple 並不在乎積分的背景幾何是直角還是極坐標。 |
| 13 | 空間向量 與 向量值函數 vector_calc |
Maple 以一個 VectorCalculus 套件提供關於空間向量和向量微積分的運算。
所謂多變量微積分 (Multivariate Calculus) 指的是從 Rn 到 R
這種實值 (real-valued) 函數的微積分，
所謂向量微積分 (Vector Calculus) 包括從 R 到 Rm 這種向量值
(vector-valued) 函數和從 Rn 到 Rm 這種向量場
(vector field) 的微積分，其中 n 和 m 都指大於 1 的整數。
此教材先導入空間向量的基本操作，以備未來向量微積分的使用。 |
| 14 | 空間中的曲線
spacecurve | 解釋 Maple 的兩個套件：plots 和 VectorCalculus 所提供關於空間中曲線的繪圖與微分計算工具。 空間中的曲線乃是以一個 R 到 R3 的向量值函數描述， 它的自變量通常稱為 t，在意義上代表時間，而這樣的函數也稱為曲線的參數式， 例如空間中的直線就是一種基本的參數式。 向量值函數 r(t) 表示某個質點在時間 t 的位置， 而曲線則為此質點在空間中運動的軌跡。 關於向量值函數的微分課題，包括速度與加速度向量的計算， 局部直角坐標系統 TNB 的計算，曲率與扭率的計算， 以及轉換參數為弧長 s 的觀念與計算。 |
| 15 | 空間中的曲面
surface |
兩個變數的實值函數圖形，或者用兩個參數描述的空間變數，
或者三元方程式的圖形，都是空間中的曲面。
所以空間中的曲面是『多變量函數』圖形的一個具體範例。
這份教材講述 Maple 繪製空間曲線的指令，
並介紹一個技巧，將曲面與其平面等高線畫在一起。
一般而言，多變量函數的圖形是非常難以具體呈現的，需要極高的想像力。 Maple 的繪圖工具能夠有限度地提供我們視覺訊息， 有助於將來處理更高維度、更抽象的多變量函數。 |
| 16 | 多變量實值函數
pDerivative | 兩個或三個變數的實值函數又稱為純量場 (scalar field)。 處理它們的線性估計、極值問題與圖形描繪， 導引出偏微分的技術與 Del 向量微分算子的操作。 這份教材講述 Maple 關於純量場的微分操作。 |
| 17 | 二重與三重積分
pIntegral |
兩個或三個變數的純量場在平面區域 R 或空間區域 D 內，
以二重或三重積分的技術做積分。
區域 R 或 D 的邊界必須可以用函數描述，這是二重或三重積分的技術條件。
這份教材的前半段，講述 Maple 的基本積分指令 int 關於純量場的積分操作。
教材的後半段， 對於二重或三重積分的問題，介紹 VectorCalculus 套件內的 int 指令用法，可以處理 R 或 D 的幾種常見的幾何形狀與範圍。 並討論變數變換的作法。 |
| 18 | 線積分
lineIntegral | 或者向量場 F 在 C 的切向量或法向量上分量的積分。 而所謂的曲線包含直線段與折線段。 將曲線用向量值函數 r(t) 參數化之後， 線積分其實就是 t 的定積分問題，所以不必特殊的積分工具。 但是 Maple 的 VectorCalculus 套件，以簡便的方式描述曲線 C， 可以省去我們一些工作。 |